Differentialrechnung

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Steigung an Punkten einer stetigen Funktion. In diesem Bereich werden die wichtigsten Ableitungsregeln, Beispiele von Kurvendiskussionen uvm. vorgestellt. azubiworld

Differentialrechnung

Einleitung

Ein fundamentaler Bereich der Analysis ist die Differentialrechnung. Mit Hilfe der Differentialrechnung kann von einer differenzierbaren Funktion die Steigung der Kurve an einer bestimmten Stelle ermittelt werden. Die Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt entspricht dabei einer Geraden, die für ein kleines Umfeld des Punktes einer Tangente der Kurve entspricht.

Anwendungen der Differentialrechnung

Das Anwendungsgebiet der Differentialrechnung ist sehr vielfältig.

  • Einerseits kann das Aussehen und die markanten Merkmale einer bestimmten Funktionskurve ermittelt werden, ohne dass Unmengen an Wertepaaren (x, f(x)) berechnet werden müssen.

    Das Ermitteln der wesentlichsten Charakteristika einer Funktion ist zentrale Aufgabe der Kurvendiskussion.
  • Weiters ist es in naturwissenschaftlich/technischen als auch wirtschaftlichen Bereichen notwendig, von einem Modell ein optimales Ergebnis zu erreichen. Einige Beispiele dazu:
    • In der Wirtschaft ist das ökonomische Prinzip bekannt, indem man mit gegebenen Ressourcen einen maximalen Umsatz/Gewinn erzielt (Suche eines Maximums)
    • oder einen bestimmten Umsatz/Gewinn mit möglichst geringen Aufwendungen erreichen möchte (Suche eines Minimums)
    • Im Maschinenbau soll ein Motor entwickelt werden, der mit einem gegebenen Treibstoffverbrauch ein Maximum an Leistung erzielt (Suche eines Maximums)
    • oder ein Motor, der eine bestimmte Leistung mit minimalen Treibstoffverbrauch erreichen soll (Suche eines Minimums)
    All diese Aufgaben fallen in den Bereich der Optimierungsaufgaben.
  • Bei komplexeren Funktionen ist es oft schwierig die Nullstellen zu ermitteln. Auch hier hilft die Differentialrechnung, diese Nullstellen durch Approximation (Annäherung) zu ermitteln. Dieses Newton'sche Näherungsverfahren wird Ihnen ebenfalls vorgestellt. Da dieses Verfahren leicht automatisierbar ist, ist dieses Verfahren besonders wichtig für den IT-Bereich bzw. der automatisierten Datenverarbeitung.

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