Lineare Gleichungssysteme in 2 Variablen: Grafisches Lösungsverfahren mit 1 Zahlenpaar als Lösung

Treffen sich die Funktionsgraphen (= Geraden) der beiden Gleichungen in genau 1 Punkt, so besteht die Lösungsmenge aus genau einem Zahlenpaar. azubiworld

Lineare Gleichungssysteme in 2 Variablen: Grafisches Lösungsverfahren mit genau 1 Zahlenpaar als Lösung

Auf dieser Seite zeigen wir Ihnen, wie man das grafische Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen in 2 Variablen anwendet.

Unser Beispiel wurde so gewählt, dass die Lösungsmenge aus genau einem Zahlenpaar besteht.

Geometrisch bedeutet dies, dass die Funktionsgraphen der beiden linearen Gleichungen (= Geraden) einander in genau 1 Punkt (=Schnittpunkt) schneiden.

Vorüberlegungen:

Um die beiden linearen Gleichungen mit zwei Variablen in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können, müssen sie in ihre Grundform umgewandelt werden:

Grundform der linearen Funktion:

Die Grundform einer linearen Funktion lautet y = kx + d

d ist dabei der Normalabstand vom Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse zum Ursprung.

k gibt die Steigung der Geraden an.

Zur Veranschaulichung:

In unserem Beispiel handelt es sich um den Funktionsgraphen der Gleichung y = 2x + 4

Der Normalabstand d vom Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse zum Ursprung beträgt 4 Einheiten.

Nun zeichnet man an diesem Punkt (0 /4) das Steigungsdreieck der Geraden: Dazu misst man eine Einheit waagrecht nach rechts und dann senkrecht nach oben oder unten. Die Länge dieser senkrechten Strecke ist die Steigung k, in unserem Fall 2 Einheiten.

Wir fassen zusammen:

d = 4 und k = 2


Beispiel:


Folgendes Gleichungssystem soll grafisch gelöst werden:

x + y = 8
\underline{x - y = 4}

1)
Zuerst müssen die beiden Gleichungen in die Grundform einer linearen Funktion gebracht werden:

Gleichung 1:

x + y = 8 \qquad / - x

Zuerst bringen wir x auf die andere Seite:
y = 8 - x

Nun bringen wir die Faktoren auf der rechten Seite noch in die Form y = kx + d:
y = -x + 8

Gleichung 2:

x - y = 4 \qquad / - x

Zuerst bringen wir x auf die andere Seite:
-y = 4 - x \qquad / \cdot (-1)

Um das Minus vor dem y wegzubekommen, wird mit (-1) multipliziert:
y = 4 + x

Nun bringen wir die Faktoren auf der rechten Seite noch in die Form y = kx + d:
y = x + 4

2)
Der Graph der ersten Gleichung wird nun in ein Koordinatensystem gezeichnet.

y = -x + 8
y = -1x + 8

k_1 = -1

d_1 = +8

3)
Der Graph der zweiten Gleichung wird nun in ein Koordinatensystem gezeichnet.

y = x + 4
y = 1x + 4

k_2 = 1

d_2 = 4

4)
Dort wo sich die beiden Geraden schneiden, wird der Schnittpunkt (S) eingezeichnet und abgelesen:

S ( 2 / 6 )

Somit gilt für die Lösungemenge:

\underline{\mathbb{L} = \{(2 / 6)\}}

Lineare Gleichungssysteme in 2 Variablen - 1. Lösungsfall:

Treffen sich die Funktionsgraphen (= Geraden) der beiden Gleichungen in genau 1 Punkt, so besteht die Lösungsmenge aus genau einem Zahlenpaar.

z.B.: \mathbb{L} = \{(6 / 2)\}

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