Arbeitsblätter - Übungen mit Lösungen

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Kürzen von Bruchtermen

Bruchterme werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch denselben Faktor (Zahl, Variable, Term) dividiert. Diese Regel wird auf diesem Arbeitsblatt in 18 Beispielen geübt.

Erweitern von Bruchtermen

Bruchterme werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit demselben Faktor (Zahl, Variable, Term) multipliziert. Diese Regel wird auf diesem Arbeitsblatt in 21 Beispielen geübt.

Bruchterme - Definitionsmenge

Der Nenner eines Bruches darf nicht Null sein, da dies rechnerisch nicht lösbar wäre. Es dürfen für die Variablen also nur jene Zahlen der Grundmenge eingesetzt werden, die nicht dazu führen, dass im Nenner Null steht. Die Grundmenge ohne die ausgeschlossenen Zahlen heißt Definitionsmenge. In diesen Beispielen sind die Definitionsmengen der Terme zu berechnen,

Bsp. 33: Volumenstrom einer Wasserströmung

Das Wasser einer Staustufe wird über mehrere Kanäle in einen Fluss geleitet. Der Verlauf des Volumenstroms eines bestimmten Kanals beginnt mit 7 m³ pro Sekunde und wird ungefähr mit einer Funktion 3. Grades veranschaulicht. a) Berechnen, nach wieviel Sekunden der Volumenstrom sein Maximum und sein Minimum erreicht (Extremwerte durch Funktionsableitungen ermitteln); b) Berechnen des gesamten Wasservolumens, das in den ersten 20 Sekunden durch diesen Kanal geflossen ist (Integralrechnung).

Bsp. 32: Rechnen mit Logarithmen (Schwangerschaft)

Eine Funktion beschreibt ungefähr die Gewichtszunahme eines Fötus in Gramm. In der Tabelle ist das Gewicht eines Fötus angegeben. Berechnung der entsprechenden Schwangerschaftswoche aufgrund des Gewichtes (Logarithmusfunktionen)

Bsp. 31: Funktion einer Längen- und Gewichtszunahme (Schwangerschaftsuntersuchungen)

Schwangerschaftsuntersuchungen werden mittels Ultraschall durchgeführt, dabei wird die Scheitel-Steiß-Länge (SSL) von Föten gemessen. Mit Hilfe von Technologieeinsatz sollen die Angaben in der Tabelle durch eine Gleichung der Regressionsgeraden und durch eine Grafik veranschaulicht werden; Berechnung, welche SSL des Fötus in der 36. Schwangerschaftswoche zu erwarten ist; Berechnung des Gewichts des Fötus nach der 23. und 35. Schwangerschaftswoche!

Bsp. 30: Maximalwert einer Funktion 3. Grades (Künstliches Fieber)

"Künstliches Fieber" ist ein Therapieverfahren, bei dem die Körpertemperatur bewusst stark erhöht wird. Folgende Berechnungen sind ausgehend von einer Funktion 3. Grades durchzuführen: a) Nach welchem Zeitraum beträgt die Körpertemperatur 37° C bzw. 39° C ? b) Berechnen Sie den Zeitpunkt der stärkste Temperaturzunahme! c) Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur während des Behandlungszeitraums von 5 Stunden! d) Berechnen Sie das Maximum der Fieberkurve!

Bsp. 29: Sachbezogene Beispiele mit Logarithmen (Brennofen)

In einer Porzellanmanufaktur werden Schüsseln hergestellt. Der Abkühlvorgang bei der Entnahme der Schüsseln aus dem Brennofen lässt sich durch eine Funktion beschreiben. Berechnung der Temperaturabnahme nach einer bestimmten Zeit; der mittleren Änderungsrate der Temperaturabnahme in einem Zeitabschnitt, der Temperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Brennofen sowie grafische Darstellung einer Tangente.

Bsp. 28: Funktion einer Geschwindigkeitsverzögerung (Geschwindigkeitsmessungen)

Eine Funktion 2. Grades erstellen; Ableitung einer Funktion 3. Grades: Auf einem Testgelände werden Geschwindigkeitsmessungen durgeführt. Die Ergebnisse für einen PKW sind in einer Tabelle angegeben. Der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit soll durch eine Polynomfunktion dargestellt werden; Eine Funktion beschreibt den zurückgelegten Weg eines LKW. Herausfinden, ob die Geschwindigkeit des LKW zu Beginn des angegebenen Intervalls gleich null ist.

Bsp. 27: Funktion einer Geschwindigkeitsverzögerung (Straßenbahn)

Ableitung einer Funktion 3. Grades: Eine Straßenbahn fährt nahezu konstant zwischen den Stationen und beginnt vor der Haltestelle möglichst langsam zu bremsen. Beim Bremsen tritt eine negative Beschleunigung ein (= Bremsverzögerung). Berechnen des Zeitpunktes und des Betrages der maximalen Bremsverzögerung. Ebenso ist anzugeben, um welchen Punkt der Funktion es sich beim Zeitpunkt der maximalen Bremsverzögerung handelt und wie hoch die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt ist; Veranschaulichung einer Notbremsung bei einer bestimmten Geschwindigkeit inkl. der Reaktionszeit des Straßenbahnlenkers in einer Grafik.

Bsp. 26: Funktionsgleichung in sachbezogener Aufgabe (Benzinverbrauch)

Berechnung des Benzinverbrauchs in Abhängigkeit von Betriebsart und Geschwindigkeit sowie deren prozentuellen Änderungen

Bsp. 25: Weg - Zeit - Geschwindigkeit (Autofahrten)

Formeln für die Berechnungen von Geschwindigkeit, Weg oder Zeit richtig anwenden: 1) Berechnung der benötigten Fahrzeit für eine bestimmte Strecke bei einer konstanten Geschwindigkeit. Die benötigten Werte zur Berechnung sind einem Diagramm abzulesen; 2) Berchnung, welcher Fahrer schneller am Ziel ankommt (Fahrer 1 mit Pause und Fahrer 2 mit niedrigerer Geschwindigkeit aber ohne Pause)

Bsp. 24: Weg - Zeit - Geschwindigkeit (Marathonläufer)

Formeln für die Berechnungen von Geschwindigkeit, Weg oder Zeit richtig verwenden: 1) Zwei Läufer starten gleichzeitig bei einem Marathonlauf mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Berechnen, wie lange die beiden Läufer benötigen und wie lange der schnellere Läufer im Ziel auf den langsameren Läufer warten muss; 2) Beim Marathonlauf wird als Maß für das Tempo die Bezeichnung "Pace" (wobei 1 Pace ist die für einen Kilometer benötigte Zeit) verwendet. Berechnen der mittleren Paces der Läufer.

Bsp. 23: Integral - Querschnittsfläche berechnen

Beispiel zur Querschnittsfläche eines Wassergrabens: Berechnen, wie viel m³ Wasser pro Sekunde durch den Querschnitt fließen (Einsatz der Integralrechnung zur Flächenberechnung: Nullstellen einer Funktion berechnen); Flächeninhalt eines gleischenkligen Trapezes berechnen; Steigung der Böschung in Höhe des Wasserspiegels berechnen (Steigungswinkel einer Funktion berechnen)

Bsp. 22: Flächeninhalt einer Polynomfunktion (religiöse Symbole)

Einsatz der Integralrechnung für die Flächenberechnung; Formel für die zusammengesetzte Fläche erstellen: 1) Das Fisch-Symbol ist ein bekanntes religiöses Symbol. In diesem Beispiel sind die Funktionsgleichungen zweiten Grades zu ermitteln sowie der Flächeninhalt des Fisches zu berechnen. 2) Der Davidstern ist ebenso ein bekanntes religiöses Symbol. Er besteht aus zwei übereinanderliegenden gleichseitigen Dreiecken, die in 12 kleine gleichseitige Dreiecke unterteilt werden können. Hier ist eine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts zu erstellen.

Bsp. 21: Flächeninhalt einer Polynomfunktion

Einsatz der Integralrechnung für die Flächenberechnung: 1) Eine Spiegelfläche ist durch zwei Funktionen zweiten Grades umschrieben. Erstellen von Funktionsgleichungen und Berechnung der Spiegelfläche. 2) Berechnung der Fläche einer Steinplatte in Form eines Fisches, die von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen ist.

Bsp. 20: Steigung der Tangente einer Funktion 4. Grades

Durch Berechnung feststellen, ob eine Gerade in einem Punkt einer geraden Straße eine Tangente an die gegebene Funktion 4. Grades ist; eine Funktionsgleichungen 2. Grades mit erstellen

Bsp. 19: Steigung und Maximum einer Bergstraße

Steigung der Teilstrecken und der Gesamtstrecke einer Bergstraße in Grad und % berechnen; horizontale Entfernung und Höhenunterschied zum Ausgangspunkt in einer Skizze sowie als Funktionsgraphen darstellen; aus einer Funktion 3. Grades durch Funktionsableitungen die Maximalsteigung der Bergstraße berechnen

Bsp. 18: Steigung und Wegstrecke eines Wanderweges

Berechnung des Steigungswinkels von der Talstation zur Bergstation einer Seilbahn (Winkelfunktionen richtig anwenden) sowie der Durschnittsgeschwindigkeit der Fahrt mit dieser Seilbahn; Berechnung der Geschwindigkeit einer Wandergruppe, die den Rückweg zu Fuß zurückgelegt hat durch Ablesen der benötigten Angaben aus einer Grafik.

Bsp. 17: Steigung und Funktionsgleichung eines Tragseils

Berechnen des Steigungswinkels und erstellen einer Funktionsgleichung 2. Grades eines Tragseils einer Gondelbahn, die von der Talstation über zwei Stützen bis zur Bergstation verläuft.

Bsp. 16: Winkelfunktionen in sachbezogener Aufgabenstellung

Winkelfunktionen richtig anwenden; Entfernungen und Höhen von einem Aussichtsplateau und einer Aussichtswarte berechnen; Funktionsableitungen für die Flugbahn eines Paragleiters bilden; eine Funktion 3. Grades mittels Technologieeinsatz lösen; Formeln erstellen

Bsp. 15: Trigonometrie - Vermessungsaufgaben

Winkelfunktionen richtig anwenden; Entfernungen und Höhen berechnen; Skizzen anfertigen: 1) Von einem Aussichtsturm an einem Seeufer erblickt man die Mastspitze eines Segelbootes. Berechnung, wie weit der Mast vom Fußpunkt des Turms entfernt ist. 2) Vom Seeufer sieht man eine Felswand mit einem vertikalen Kletterpfad. Berechnung der Höhe der Felswand sowie die Länge des vertikalen Kletterpfades.

Bsp. 14: Temperatur - Funktionsgraphen interpretieren

Temperaturangaben in Celsius uns Fahrenheit berechnen; Formeln richtig anwenden: 1) Umrechnen von Celsius in Fahrenheit und umgekehrt durch verwenden und umformen einer Formel; ablesen dieser linearen Funktion in einer Grafik. 2) Berechnen der prozentuellen Zunahme des Volumens von Wasser bei einer Erwärmung um 6° Celsius.

Bsp. 13: Funktion einer Bevölkerungsabnahme

Eine lineare Funktion und eine Funktion 2. Grades mit Hilfe von sachbezogenen Angaben erstellen: 1) In einer Gemeinde nimmt die Bevölkerungszahl ab. Diese Abnahme soll ungefähr durch eine lineare Funktionsgleichung dargestellt sowie die Einwohnerzahl für das Jahr 2005 und für das Jahr 2010 berechnet werden. 2) Die Entwicklungszahlen einer Kleinstadt sind in der Tabelle gerundet angegeben. Diese Abnahme soll ungefähr durch eine Funktion zweiten Grades dargestellt und die voraussichtliche Einwohnerzahl im Jahr 2010 berechnet werden.

Bsp. 12: Polynomfunktion in sachbezogenem Beispiel

Beispiel zur jährlichen Restmüllmenge einer Stadt: Gleichungssystem und Polynomfunktion 2. Grades erstellen; voraussichtliche Mengenzunahme berechnen