Vektor-Addition

Vektoraddition

: Abb. 1: Vektoraddition
zweier Vektoren

: Abb. 2: Mehrfache Vektoraddition

Die Vektoraddition ist eine Aneinanderreihung mehrerer Verschiebungen. Die Vektoraddition

$\vec{a_1}+\vec{a_2}$

bedeutet, dass nach der Verschiebung a₁ die Verschiebung a₂ durchgeführt wird.

Vektoraddition - Grafisch

Grafisch wird eine Vektoraddition realisiert, indem an die Spitze (Ende) des ersten Vektors der Schaft (Anfang) des zweiten Vektors gesetzt wird (Siehe Abb. 1).

Vektoraddition - Rechnerisch

Rechnerisch kann man mit der Vektoraddition die Gesamtverschiebung ermitteln, indem man die x-Werte und die y-Werte jeweils miteinander addiert.

Mehrfache Vektoraddition

Wie aus Abbildung 2 erkennbar wird können auch mehrere Vektoradditionen durchgeführt werden. In diesem Fall werden die Vektoren der Reihe nach aneinander gereiht. Beim Berechnun müssen nun die x-Werte und y-Werte aller vier Vektoren addiert werden.

Vektoraddition in der Ebene

$\vec{a_1}=\left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right)$

$\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right)$

$\vec{a_{ges}}=\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}3\\5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}8\\4\end{array}\right)$

$\vec{a_{ges}}=\left(\begin{array}{r}3+8\\5+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}11\\9\end{array}\right)$

Die allgemeine Formel zur Addition zweier Vektoren in $\mathbb{R}^2$ lautet:

$\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&+&x_2\\y_1&+&y_2\end{array}\right)$

Vektoraddition im Raum

$\vec{a_1}=\left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right)$

$\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right)$

$\vec{a_{ges}}=\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}-4\\-3\\2\end{array}\right)$

$\vec{a_{ges}}=\left(\begin{array}{rrr}2&+&(-4)\\(-1)&+&(-3)\\3&+&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-2\\-4\\5\end{array}\right)$

Die allgemeine Formel zur Addition zweier Vektoren in $\mathbb{R}^3$ lautet:

$\vec{a_1}+\vec{a_2}=\left(\begin{array}{r}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}x_2\\y_2\\z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}x_1&+&x_2\\y_1&+&y_2\\z_1&+&z_2\end{array}\right)$

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