Raumdiagonale eines Würfels

In einem Würfel sind alle Seiten gleich große Quadrate, daher sind auch alle Raumdiagonalen gleich lang und werden mit d_R bezeichnet. azubiworld

Die Raumdiagonale(n) des Würfels

Eine Raumdiagonale verbindet jeden Eckpunkt der Grundfläche (A, B, C, D) mit dem am weitest entfernten (= gegenüberliegenden) Eckpunkt der Deckfläche (E, F, G, H):

\overline{AG}\ , \overline{BH}\ , \overline{CE}\ , \overline{DF}

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 gleich großen Quadraten.

Daher sind auch die Raumdiagonalen eines Würfels gleich lang.

Die Raumdiagonale eines Würfels wird daher einheitlich mit d_R bezeichnet.

Berechnung der Raumdiagonale eines Würfels

Zeichnet man eine beliebige Raumdiagonale des Würfels ein (z.B. jene vom Eckpunkt B zum Eckpunkt H), so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck (rechter Winkel im Eckpunkt D).

In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der  Lehrsatzes des Pythagoras, somit kann man mit dessen Hilfe die Länge der Raumdiagonale berechnen.

Die Raumdiagonale (d_R) ist die Hypotenuse (=längste Seite) des rechtwinkeligen Dreiecks, die Kante (s) sowie die Flächendiagonale (d) bilden die Katheten (= kürzeren Seiten). Daher gilt:

\text{Hypotenuse} = \sqrt {\text{Kathete\ hoch\ 2} + \text{Kathete\ hoch\ 2}}

Wir setzen nun die Bezeichnungen in die Formel ein:
d_R = \sqrt{s^2 + d^2}

Die Flächendiagonale d kann folgendermaßen berechnet werden:
d = \sqrt{s^2 + s^2}
d^2 = s^2 + s^2

Für d^2 wird nun also s^2 + s^2 eingesetzt:
d_R = \sqrt{s^2 + s^2 + s^2}

Nun kann noch addiert werden:
d_R = \sqrt{3 \cdot s^2}

Partielles (= teilweises) Wurzelziehen:
d_R = s \cdot \sqrt{3}

Raumdiagonale eines Würfels:

In einem Würfel sind alle Seiten gleich große Quadrate, daher sind auch alle Raumdiagonalen gleich lang und werden mit d_R bezeichnet.

d_R = s \cdot \sqrt{3}

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