2. Binomische Formel

Herleitung der 2. Binomischen Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² auf zwei unterschiedlichen Arten.

Die 2. Binomische Formel

Herleitung - 1. Möglichkeit:

(a - b)^2 =

= (a - b) \cdot (a - b) =

= aa - ab - ba + bb =

= a^2 - ab - ab + b^2 =

= a^2 - 2ab + b^2

Herleitung - 2. Möglichkeit:

Wir berechnen den Flächeninhalt des orangen Quadrates auf 2 verschiedene Arten. Dazu nehmen wir folgende Seitenlängen an: a = 4 cm , b = 1,5 cm

A_{Quadrat} = s^2

A_{Rechteck} = l \cdot b

Möglichkeit I:
Wir erhalten die Seitenlänge des orangen Quadrates, wenn wir von der Seitenlänge des großen Quadrates (= a) die Seitenlänge des Rechtecks (= b) abziehen.
A = (a - b)^2 = (4 - 1,5)^2 = 2,5^2 = 6,25 cm^2

Möglichkeit II
Wir ziehen von der großen Quadratsfläche (=a²) die 2 Rechtecksflächen (= ab) ab, allerdings wird dabei das kleine Quadrat (=b²) doppelt abgezogen, daher müssen wir es wieder dazurechnen.
A = a^2 - ab - ab + b^2 =
= 4^2 - 4 \cdot 1,5 - 4 \cdot 1,5 + 1,5^2 =
= 16 - 6 - 6 + 2,25 = 6,25cm^2

Da bei beiden Möglichkeiten dasselbe Ergebnis herauskommt, kann man die beiden Rechenwege gleichsetzen:
(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

2. Binomische Formel:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Beispiel:

(5e - 3f)^2 = 25e^2 - 2 \cdot 5e \cdot 3f + 9f^2 = 25e^2 - 30ef + 9f^2

Kommentar #5 von Ramona 15.11.10 17:30
Ramona

Ist die (5e+3f)² nicht die 1. binomische Formel?!
Müsste es nicht wenn dann heißen (5e-3f)² das es dann heißt
= 25e²-30ef+9f²

Gruß
Ramona

Kommentar #6 von Admin 15.11.10 17:33
Admin

Stimmt, das war ein Fehler in der Angabe. Werden wir gleich korrigieren.

Vielen Dank für den Hinweis!

Kommentar #8200 von Emma 16.11.13 12:23
Emma

Muss man dann eigentlich immer die erste Zahl hoch 2 und mal 2 rechnen oder ist es immer die Zahl?
z.B. (a-7)²=a²-2*a*7+7²
oder 7²-2*7*a+a²?

Mfg
Emma

Kommentar #8388 von Erich Hnilica, BEd 13.01.14 10:57
Erich Hnilica, BEd

Liebe Emma!

Die 2. Möglichkeit ist richtig!

Liebe Grüße
Mathe-Lexikon-Team

Kommentar #33322 von georg 15.01.17 07:19
georg

ich finde es uneindeutig.

(a-b)^2 = (a^2 - 2ab) + b^2

oder = a^2 - (2ab + b^2)

Bei Subtraktion ist klammern setzen meines Wissens nach wichtig.

Kommentar #39616 von sun 12.05.17 13:27
sun

warum wird aber 2*(5-2x)^2 zu 2*(-2x+5)^2?

Kommentar #39930 von Julia 03.09.17 10:10
Julia

Hallo hab mal eine Frage. Für welche Wert a und b würde auch die Gleichung (a-b)^2 = (b-a)^2 gelten? Gibt es da eine allgemeine Regel zu? Vielen Dank im Voraus

Kommentar #41102 von franzi 10.05.18 16:35
franzi

Kann mir einer bei der Formel 4x²-12x+9 helfen?

Kommentar #41238 von Pierre 14.06.18 19:25
Pierre

Wie berechne ich jetzt 2AB?
Rechne ich da (2×A)+(2×B)
oder 2×A×B

Kommentar #43980 von lutschi 11.05.20 15:05
lutschi

Stimmt es wenn man a²/2 rechnet oder ist es falsch.

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