Binomische Formeln hoch 3

Auf dieser Seite möchten wir veranschaulichen, wie man Binomische Formeln mit dem Exponenten (der Hochzahl) 3 lösen kann. azubiworld

Binomische Formeln hoch 3

Auf dieser Seite möchten wir veranschaulichen, wie man Binomische Formeln mit dem Exponenten (der Hochzahl) 3 lösen kann. Mathematisch geschrieben sieht die Ausgangssituation folgendermaßen aus:

(a + b)^3 = ?

(a - b)^3 = ?

Herleitung (a + b)³

Zur Herleitung der Formel schreiben wir die Ausgangssituation als Produkt von Summen auf. Dann lösen wir diese Terme.

(a + b)^3 = (a + b) \cdot (a + b) \cdot (a + b)

(a + b)^3 = (a^2 + ab + ab + b^2) \cdot (a + b)

(a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2) \cdot (a + b)

(a + b)^3 = a^2 \cdot a + 2ab \cdot a + b^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot b + b^2 \cdot b

(a + b)^3 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Beispiel (a + b)³

Zur Kontrolle, ob unsere soeben hergeleitete Formel auch stimmt, setzen wir für die Variablen a und b beliebige Zahlen (z.B. 4 und 5) ein.

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(4 + 5)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 + 5^3

(4 + 5)^3 = 64 + 3 \cdot 16 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 25 + 125

(4 + 5)^3 = 64 + 240 + 300 + 125

(4 + 5)^3 = 729

Probe:

(4 + 5)^3 = 9^3 = 729

Herleitung (a - b)³

Zur Herleitung der Formel schreiben wir die Ausgangssituation als Produkt von Differenzen auf. Dann lösen wir diese Terme.

(a - b)^3 = (a - b) \cdot (a - b) \cdot (a - b)

(a - b)^3 = (a^2 - ab - ab + b^2) \cdot (a - b)

(a - b)^3 = (a^2 - 2ab + b^2) \cdot (a - b)

(a - b)^3 = a^2 \cdot a - 2ab \cdot a + b^2 \cdot a - a^2 \cdot b + 2ab \cdot b - b^2 \cdot b

(a - b)^3 = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Beispiel (a - b)³

Zur Kontrolle, ob unsere soeben hergeleitete Formel auch stimmt, setzen wir für die Variablen a und b beliebige Zahlen (z.B. 5 und 3) ein.

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

(5 - 3)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 \cdot 3^2 - 3^3

(5 - 3)^3 = 125 - 3 \cdot 25 \cdot 3 + 3 \cdot 5 \cdot 9 - 27

(5 - 3)^3 = 125 - 225 + 135 - 27

(5 - 3)^3 = 8

Probe:

(5 - 3)^3 = 2^3 = 8

Binomische Formeln hoch 3:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

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