Zentriwinkel / Randwinkel

Der Zentriwinkel eines Kreises ist doppelt so groß wie sein zugehöriger Randwinkel.

Zusammenhang zwischen dem Zentriwinkel und dem Randwinkel eines Kreises

Wir konstruieren einen Kreis mit beliebigem Radius.

Auf der Kreislinie wählen wir 3 beliebige Punkte A, B und C.

Wir verbinden nun die 3 konstruierten Punkte jeweils mit dem Mittelpunkt, dann der Reihe nach von A nach B nach C und wieder nach A.

Dadurch entstanden 3 gleichschenklige Dreiecke in denen die Basiswinkel jeweils gleich groß sind (\gamma_1 , \gamma_2 , \gamma_3).

Beweis, dass der Zentriwinkel \beta doppelt so groß ist wie sein zugehöriger Randwinkel \alpha:

Winkelsummensatz im Dreieck ABM:
\gamma_1 + \gamma_1 + \beta = 180^\circ
2\gamma_1 + \beta = 180^\circ\qquad / - \beta
2\gamma_1 = 180^\circ - \beta

Winkelsummensatz im Dreieck ABC:
\gamma_1 + \gamma_3 + \gamma_3 + \gamma_2 + \gamma_2 + \gamma_1 = 180^\circ
2\gamma_1 + 2\gamma_2 + 2\gamma_3 = 180^\circ

Nun erstezen wir 2\gamma_1 durch 180^\circ - \beta:
180^\circ - \beta + 2\gamma_2 + 2\gamma_3 = 180^\circ

Umformen:
180^\circ - \beta + 2\gamma_2 + 2\gamma_3 = 180^\circ\qquad / - 180^\circ
- \beta + 2\gamma_2 + 2\gamma_3 = 0\qquad / + \beta
2\gamma_2 + 2\gamma_3 = \beta

Herausheben:
\beta = 2 \cdot (\gamma_2 + \gamma_3)

Aus der Skizze erkennen wir, dass \gamma_2 + \gamma_3 den Winkel \alpha ergeben:
\begin{align} \beta & = 2 \cdot (\gamma_2 + \gamma_3) \\ \beta & = 2 \cdot \alpha \end{align}

Der Zentriwinkel eines Kreises ist doppelt so groß wie sein zugehöriger Randwinkel:

\beta = 2 \cdot \alpha

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