Einheitsvektor

Einheitsvektor

Einheitsvektor
Abb. 1: Einheitsvektor

Alle Vektoren mit der Länge 1 werden als Einheitsvektoren bezeichnet. Der Einheitsvektor des Vektors a wird oft auch als Vektor e_a angegeben. Sie erfüllen eine besondere Aufgabe:

  • Wenn nur die Richtung/Orientierung wichtig ist, kann die Richtung unabhängig von der Länge des Vektors angegeben werden
  • Zum Abtragen fix vorgegebener Längen, kann der Einheitsvektor mehrmals aneinander gehängt werden. In der Abbildung sehen Sie zum Beispiel einen Vektor a mit der Länge von 5 Einheiten. Gesucht ist jener Punkt, der vom Startpunkt nach 2 Einheiten erreicht wird. Um diesen zu ermitteln, wird zweimal der Einheitsvektor an den Startpunkt gehängt.

Einheitsvektor - Berechnung

Einheitsvektor, Berechnung, Formel
Abb. 2: Einheitsvektor Herleitung

Um den Einheitsvektor eines beliebig langen Vektors zu ermitteln, muss man nur

  • die Länge und
  • die Komponenten des Vektors (x, y)

kennen. Betrachtet man die nebenstehende Abbildung, so ist klar, dass ein Vektor mit der Länge 5 sich aus 5 Einheitsvektoren zusammen setzen lässt. Ein Vektor mit der Länge 6 lässt sich aus 6 Einheitsvektoren zusammen setzen, usw.

Um nun den Einheitsvektor berechnen zu können müssen nur die einzelnen Komponenten (x,y) durch den Betrag des Vektors (=Länge) dividiert werden.

 

\vec{a}=\left(\begin{array}{r}4\\3\end{array}\right)

|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

\Large{\vec{e_a}=\left(\begin{array}{r}\frac{4}{|\vec{a}|}\\\frac{3}{|\vec{a}|}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}\frac{4}{5}\\\frac{3}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0,8\\0,6\end{array}\right)}

Zur Kontrolle kann man die Länge des Einheitsvektors ausrechnen, die klarerweise 1 ergeben muss:

 

|\vec{e_a}|=\sqrt{0,8^2+0,6^2}=\sqrt{0,64+0,36}=\sqrt{1}=1

 

Einheitsvektor Formel - Ebene

Die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors lautet somit:

 

\Large{\vec{e_v}=\left(\begin{array}{r}\frac{x}{|\vec{v}|}\\\frac{y}{|\vec{v}|}\end{array}\right)}

 

Einheitsvektor Formel - Raum

Die Formel für Einheitsvektoren im Raum lautet:

 

\Large{\vec{e_v}=\left(\begin{array}{r}\frac{x}{|\vec{v}|}\\\frac{y}{|\vec{v}|}\\\frac{z}{|\vec{v}|}\end{array}\right)}

 

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  • Kommentare zu diesem Thema
  • Kommentar
    26.11.2011 10:47
    Peter Wolf
    Anregung: gebt doch mal ein einfaches Beispiel aus dem realen Leben für was man den Einheitsvektor braucht.
  • Kommentar
    28.11.2011 09:26
    silverSurfer
    Nja, hier geht es um Vektoren. Diese brauchst du in der Geometrie (und somit in der Architektur, 3D-Modellierung/-Visualisierung) in der Physik - überall wo es Vektorfelder gibt (Erdanziehung, Magnetismus) und somit auch in der Meteorologie (noch nie Wetterbericht gesehen?)

    Um es mal etwas konkreter zu machen einige Beispiele:
    - du möchtest den Winkel zwischen zwei Geraden ermitteln
    - du willst den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene im Raum ermitteln
    - Linearkombination
    - uvm.

    Das was ich auf diesen Seiten gefunden habe, kratzt ja sowieso gerade mal an den Basics der Vektorrechnung. Das ist, wie wenn du in einem Kochkurs fragst, wozu du den Löffel benötigst.

    Wenn das "reale Leben" aber natürlich aus Hartz-IV-Empfangen, Konsumieren schwachsinniger Talkshows und dem sonntäglichen Gröhlen in irgendeinem Fußballstadion besteht, dann ist das o.g. Wissen natürlich nicht notwendig ;-) Ich frage mich nur, ob es sinnvoll ist, dass sich die ganze Welt immer am unteren Niveau orientieren muss.