Betrag des Vektors

Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge eines Pfeils. Kennt man die x- und y-Komponente eines Vektors, so kann man daraus die Länge des Vektors ermitteln.

Der Betrag eines Vektors in der Ebene

: Abb. 1: Betrag des Vektors
in der Ebene

Man erkennt am Beispiel des Vektors a, dass sich dieser aus zwei Verschiebungen zusammensetzen lässt:

4 Schritte nach rechts (= x-Komponente)
3 Schritte hinauf (= y-Komponente)

Da diese beiden Teilvektoren (in der Abbildung grün eingezeichnet) normal zueinander sind, kann man mit Hilfe des Pythagoras die Länge des Vektors ausrechnen:

Beispiele

Betrag des Vektors a:

$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$
$|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Betrag des Vektors b:

$|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$
$|\vec{b}|=\sqrt{7^2+(-2)^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}=7,2801...\approx7,28$

Die Formel zur Berechnung des Betrags in der ebene lautet daher:

$|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
$\vec{v}$ ... Vektor
$v_x, v_y$ ... x-,y-Komponenten des Vektors

Der Betrag des Vektors im Raum

: Abb. 2: Der Betrag des
Vektors im Raum

Wendet man dieses Prinzip auf den Raum an, kann man durch Herleitung folgende Formel ableiten (auf die genaue Herleitung wurde hier verzichtet):

$|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Beispiel

Betrag des Vektors c

$|\vec{c}|=\sqrt{c_x^2+c_y^2+c_z^2}$

$|\vec{c}|=\sqrt{4^2+3^2+2^2}=\sqrt{16+9+4}$

$|\vec{c}|=\sqrt{29}=5,3851\approx5,39$

Anmerkung: Der Betrag eines Vektors ist immer eine ungerichtete Größe (Skalar), die nur die Länge des Vektors angibt, aber keinerlei Informationen zu dessen Richtung enthält.

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