Betrag des Vektors

Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Vektors. Für die Berechnung ist der Lehrsatz des Pythagoras hilfreich.

Betrag des Vektors

Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge eines Pfeils. Kennt man die x- und y-Komponente eines Vektors, so kann man daraus die Länge des Vektors ermitteln.

Betrag, Vektor, Ebene Abb. 1: Betrag des Vektors
in der Ebene

Der Betrag eines Vektors in der Ebene

Man erkennt am Beispiel des Vektors a, dass sich dieser aus zwei Verschiebungen zusammensetzen lässt:

  • 4 Schritte nach rechts (= x-Komponente)
  • 3 Schritte hinauf (= y-Komponente)

Da diese beiden Teilvektoren (in der Abbildung grün eingezeichnet) normal zueinander sind, kann man mit Hilfe des Pythagoras die Länge des Vektors ausrechnen:

Beispiele

Betrag des Vektors a:

|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}
|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Betrag des Vektors b:

|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}
|\vec{b}|=\sqrt{7^2+(-2)^2}=\sqrt{49+4}=\sqrt{53}=7,2801...\approx7,28

Die Formel zur Berechnung des Betrags in der ebene lautet daher:

|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
\vec{v} ... Vektor
v_x, v_y ... x-,y-Komponenten des Vektors
Betrag, Vektor, Raum Abb. 2: Der Betrag des
Vektors im Raum

Der Betrag des Vektors im Raum

Wendet man dieses Prinzip auf den Raum an, kann man durch Herleitung folgende Formel ableiten (auf die genaue Herleitung wurde hier verzichtet):

|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

Beispiel

Betrag des Vektors c

|\vec{c}|=\sqrt{c_x^2+c_y^2+c_z^2}
|\vec{c}|=\sqrt{4^2+3^2+2^2}=\sqrt{16+9+4}
|\vec{c}|=\sqrt{29}=5,3851\approx5,39

Anmerkung: Der Betrag eines Vektors ist immer eine ungerichtete Größe (Skalar), die nur die Länge des Vektors angibt, aber keinerlei Informationen zu dessen Richtung enthält.
Kommentar #302 von XXX 09.01.11 08:33
XXX

Why is snow white and ice clear? Aren't they just different forms of water?

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