Die Mantelfläche des Kegels

Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (Kreissegment), dessen Radius der Mantellinie und dessen Bogenlänge dem Umfang des Kreises der Grundfläche entspricht. azubiworld

Die Mantelfläche des Kegels

Im Kapitel  haben wir bereits erläutert, dass die Grundfläche eines Kegels ein Kreis und die Mantelfläche ein Kreisausschnitt ist.

Diese zwei Flächen bilden also die Oberfläche des Kegels.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns damit, wie man die Mantelfläche berechnen kann.


Herleitung der Formel

Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt.

Die Flächeninhaltsformel eines Kreisausschnittes kennen wir bereits aus dem Kapitel :

A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{b \cdot r}{2}

Die Bogenlänge b des Kreisausschnittes entspricht dem Umfang des Kreises der Grundfläche.

Die Formel zur Berechnung des Kreisumfanges kennen wir bereits aus dem Kapitel :

u = 2 \cdot r \cdot \pi

Somit gilt:
b = 2 \cdot r \cdot \pi

Der Radius r des Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s des Kegels:

r = s

Zusammenfassung:

A_\text{Kreisausschnitt} = \frac{b \cdot r}{2}

Nun setzen wir statt b folgendes ein: 2 \cdot r \cdot \pi Für r setzten wir s ein.

M = \frac{2 \cdot r \cdot \pi \cdot s}{2}

Abschließend kann noch durch 2 gekürzt werden, es bleibt:

M = r \cdot \pi \cdot s

Mantelfläche des Kegels:

Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt (Kreissegment), dessen Radius der Mantellinie und dessen Bogenlänge dem Umfang des Kreises der Grundfläche entspricht.

M = r \cdot \pi \cdot s

Beispiel:

Ein Kegel hat einen Radius von r = 4cm und eine Mantellinie von s = 10 cm. Berechne die Mantelfläche!

M = r \cdot \pi \cdot s

M = 4 \cdot \pi \cdot 10

M = 40 \cdot \pi

\underline{M = 125,7\ cm^2}

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