Raumdiagonale eines Quaders

In einem Quader sind alle alle Raumdiagonalen gleich lang und werden mit d_R bezeichnet. azubiworld

Die Raumdiagonale(n) des Quaders

Eine Raumdiagonale verbindet jeden Eckpunkt der Grundfläche (A, B, C, D) mit dem am weitest entfernten (= gegenüberliegenden) Eckpunkt der Deckfläche (E, F, G, H):

\overline{AG}\ , \overline{BH}\ , \overline{CE}\ , \overline{DF}

Die Seitenkanten des Quaders stehen normal auf die Grund- bzw. Deckfläche.

Somit ist jeder Punkt der Grundfläche gleich weit von der Deckfläche entfernt.

Aus diesem Grund sind die 4 Raumdiagonalen gleich lang.

Die Raumdiagonale eines Quaders wird daher einheitlich mit d_R bezeichnet.

Berechnung der Raumdiagonale eines Quaders

Zeichnet man eine beliebige Raumdiagonale des Quaders ein (z.B. jene vom Eckpunkt B zum Eckpunkt H), so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck (rechter Winkel im Eckpunkt D).

In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der  Lehrsatzes des Pythagoras, somit kann man mit dessen Hilfe die Länge der Raumdiagonale berechnen.

Die Raumdiagonale (d_R) ist die Hypotenuse (=längste Seite) des rechtwinkeligen Dreiecks, die Höhe (h) sowie die Flächendiagonale der Grundfläche (d_1) bilden die Katheten (= kürzeren Seiten). Daher gilt:

\text{Hypotenuse} = \sqrt {\text{Kathete\ hoch\ 2} + \text{Kathete\ hoch\ 2}}

Wir setzen nun die Bezeichnungen in die Formel ein:
d_R = \sqrt{h^2 + {d_1}^2}

Die Flächendiagonale d_1 kann folgendermaßen berechnet werden:
d_1 = \sqrt{l^2 + b^2}
{d_1}^2 = l^2 + b^2

Für {d_1}^2 wird nun also l^2 + b^2 eingesetzt:
d_R = \sqrt{h^2 + l^2 + b^2}

Nun kann noch die Reihenfolge der Summanden geändert werden:
d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}

Raumdiagonale eines Quaders:

In einem Quader sind alle Raumdiagonalen gleich lang und werden mit d_R bezeichnet.

d_R = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}

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