Definition ähnlicher Figuren

Ähnliche Figuren haben dieselbe Gestalt, sind aber unterschiedlich groß.

Ähnliche Figuren

Beispiel:

Konstruieren Sie ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten a_1 = 3\ cm und b_1 = 2\ cm lang sein sollen.

Als nächstes konstruieren Sie das gleiche Dreieck nochmals, allerdings mit doppelt so langen Kathetenlängen.

Schließlich konstruieren Sie das erste Dreieck nochmals, diesmal sollen die Katheten dreimal so lange sein.


Wir legen die drei Dreiecke nun übereinander, um die Seiten und Winkel besser miteinander vergleichen zu können.


Winkel:

Wir messen nun alle Winkel der drei Dreiecke nach.

\begin{align} & \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 56^\circ \\ & \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 34^\circ \\ & \gamma_1 = \gamma_2 = \gamma_3 = 56^\circ \\ \end{align}

Einander entsprechende Winkel sind also gleich groß.


Seiten:

Wir messen nun alle Seiten der drei Dreiecke nach.

\begin{align} & \overline{C_1 A_1} = 2\ cm \\ & \overline{C_1 B_1} = 3\ cm \\ & \overline{A_1 B_1} = 3,6\ cm \\ \end{align}

\begin{align} & \overline{C_2 A_2} = 4\ cm = 2 \cdot \overline{C_1 A_1} \\ & \overline{C_2 B_2} = 6\ cm = 2 \cdot \overline{C_1 B_1} \\ & \overline{A_2 B_2} = 7,2\ cm = 2 \cdot \overline{A_1 B_1} \\ \end{align}

\begin{align} & \overline{C_3 A_3} = 6\ cm = 3 \cdot \overline{C_1 A_1} \\ & \overline{C_3 B_3} = 9\ cm = 3 \cdot \overline{C_1 B_1} \\ & \overline{A_3 B_3} = 10,8\ cm = 3 \cdot \overline{A_1 B_1} \\ \end{align}

Ähnliche Figuren:

Ähnliche Figuren haben dieselbe Gestalt, sind aber unterschiedlich groß. Für ähnliche Figuren verwendet man folgendes Zeichen: \thicksim

Sind ähnliche Figuren auch gleich groß, so handelt es sich um kongruente Figuren. Die Kongruenz ist also ein Sonderfall der Ähnlichkeit.

Entsprechende Winkel ähnlicher Figuren sind gleich groß.
(\alpha_1 = \alpha_2 , \beta_1 = \beta_2 , \gamma_1 = \gamma_2 , ...)

Entsprechende Seiten ähnlicher Figuren sind proportional zueinander (haben das gleiche Verhältnis).

\begin{align} & (a_2 = 2 \cdot a_1 , b_2 = 2 \cdot b_1 , c_2 = 2 \cdot c_1 , ...) \\ & (a_1 : a_2 = 1 : 2 , b_1 : b_2 = 1 : 2 , c_1 : c_2 = 1 : 2 , ...) \end{align}

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