Ähnlichkeiten beim rechtwinkeligen Dreieck

Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck durch eine Höhe in Teildreiecke, so sind diese beiden Teildreiecke zueinander und mit dem Ausgangsdreieck ähnlich. azubiworld

Ähnlichkeiten beim rechtwinkligen Dreieck

Beispiel:

Konstruieren Sie ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 6\ cm und dem Winkel \alpha = 60^\circ.

(Tipp: Da die Seite c die Hypotenuse unseres rechtwinkeligen Dreieckes ist, ist der gegenüberliegende Winkel Gamma ein rechter Winkel, also \gamma = 90^\circ)

Zeichnen Sie nun auch die Höhe h_c ein!

(Tipp: die Höhe steht normal auf die Seite und verläuft durch den gegenüberliegenden Eckpunkt)


Beweis 1:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass diese beiden kleineren Dreiecke zueinander ähnlich sind!

\triangle ADC:

Aus der Angabe wissen wir: \alpha_1 = 60^\circ

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: \beta_1 = 90^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \gamma_1 = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ

\triangle DBC:

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: \alpha_2 = 90^\circ

Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt: \gamma_2 = 90^\circ - \gamma_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \beta_2 = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

Vergleich \triangle ADC mit \triangle DBC:

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

\begin{align}
& \alpha_1 = \gamma_2 \\
& \beta_1 = \alpha_2 \\
& \gamma_1 = \beta_2 
\end{align}

Die die beiden Dreiecke \triangle ADC und \triangle DBC in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

\triangle ADC \thicksim \triangle DBC

Beweis 2:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass das linke der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!

\triangle ADC:

Aus der Angabe wissen wir: \alpha_1 = 60^\circ

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: \beta_1 = 90^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \gamma_1 = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ

\triangle ABC:

Aus der Angabe wissen wir: \alpha = 60^\circ

Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also: \gamma = 90^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \beta = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ

Vergleich \triangle ADC mit \triangle ABC:

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

\begin{align}
& \alpha_1 = \alpha \\
& \beta_1 = \gamma \\
& \gamma_1 = \beta 
\end{align}

Die die beiden Dreiecke \triangle ADC und \triangle ABC in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

\triangle ADC \thicksim \triangle ABC

Beweis 3:

Die Höhe h_c teilt das rechtwinkelige Dreieck in zwei kleinere Dreiecke.

Beweisen Sie, dass das rechte der beiden kleinen Dreiecke und das Ausgangsdreieck zueinander ähnlich sind!

\triangle DBC:

Da die Höhe normal auf die Seite steht, gilt: \alpha_2 = 90^\circ

Im Eckpunkt C ist laut Angabe ein rechter Winkel, daher gilt: \gamma_2 = 90^\circ - \gamma_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \beta_2 = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

\triangle ABC:

Aus der Angabe wissen wir: \alpha = 60^\circ

Am Beginn haben wir bereits herausgefunden, dass Gamma ein rechter Winkel ist, also: \gamma = 90^\circ

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, daher gilt: \beta = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ

Vergleich \triangle DBC mit \triangle ABC:

Wir versuchen nun gleich große Winkel zu finden:

\begin{align}
& \alpha_2 = \gamma \\
& \gamma_2 = \alpha \\
& \beta_2 = \beta
\end{align}

Die die beiden Dreiecke \triangle DBC und \triangle ABC in allen 3 Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich!

\triangle DBC \thicksim \triangle ABC

Ähnlichkeiten beim rechtwinkligen Dreieck:

Unterteilt man das rechtwinklige Dreieck \triangle ABC \text{ durch die Höhe } h_c in zwei kleinere Dreiecke (\triangle ADC , \triangle DBC), so gilt:

\begin{align}
& \text{die beiden kleineren Dreiecke sind zueinander ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle DBC) \\
& \text{jedes der beiden kleineren Dreiecke ist dem Ausgangsdreieck ähnlich: } \\
& (\triangle ADC \thicksim \triangle ABC und \triangle DBC \thicksim \triangle ABC)
\end{align}

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