Normalengleichung

Normalengleichung

Normalengleichung, Gleichung, Steigung
Eine Normale an der Stelle 2.5

Manchmal kann es erforderlich sein eine Gerade zu finden, die normal zur Tangente eines Punktes der Kurve liegt. Die Schritte sind ähnlich wie beim Erstellen der Tangentengleichung.

Ist nämlich die Steigung k der Tangente gegeben, so kann man mit folgendem Zusammenhang leicht die Steigung der Normale kn ermitteln:

 

Steigung der Normale:

k_n=-\frac{1}{k}

 

  1. Ermitteln Sie wieder die Koordinaten des Berührpunktes
  2. Berechnen Sie die Steigung k der Tangente
  3. Rechnen Sie die Steigung k in die Steigung knder Normale um.
  4. Setzen Sie Punkt und Steigung kn in die allgemeine Geradengleichung ein.

Beispiel:

Von folgender Funktion soll die Normalengleichung an der Stelle x=2.5 ermittelt werden (Siehe Abbildung):

f(x)=x^3-3x^2+5

f'(x)=3x^2-6x

1. Ermitteln des Berührpunktes

f(2.5) = 2.5^3-3 \cdot 2.5^2 + 5=15.625-18.75+5=1.875

2. Berechnen der Steigung k

k=f'(2.5)=3 \cdot 2.5^2-6 \cdot 2.5=3.75

3. Berechnen der Steigung kn

k_n=-\frac{1}{k}=-\frac{1}{3.75}

4. Einsetzen in die Geradengleichung

y=-\frac{1}{3.75} \cdot x + d

1.875=-\frac{2.5}{3.75}+d

1.875=-\frac{2}{3}+d

d=\frac{5.625}{3}+\frac{2}{3}=\frac{7.625}{3}

Die endgültige Normalengleichung an der Stelle x=2.5 lautet somit:

 

y=-\frac{1}{3.75}x+\frac{7.625}{3}

 

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