Tangentengleichung berechnen

Hier wird gezeigt, wie die Geradengleichung einer Tangente aufgestellt wird. azubiworld

Aufstellen der Tangentengleichung

Tangente, Tangentengleichung Tangente an der Stelle 5

Gegeben Sei die Funktion f:

f(x)=x^3-5x^2+10

Die erste Ableitung lautet:

f'(x)=3x^2-10x

Gesucht ist

  1. die Steigung an der Stelle 5 und
  2. die Gleichung jener Tangente, die die Kurve an der Stelle x=5 berührt.

Ermitteln der Steigung

Um die Steigung k an der Stelle x=5 zu ermitteln wird der Wert in die erste Ableitung eingesetzt:

k\ =\ f'(5)=3 \cdot 5^2-10 \cdot 5\ =\ 75 - 50\ =\ 25

Weiters ist ein Punkt der Tangente erforderlich. Dies ist klarerweise der Berührpunkt P an der Stelle f(5):

f(5)\ =\ 5^3-5 \cdot 5^2 + 10\ =\ 125 - 125 + 10 = 10

Der Berührpunkt P hat daher die Koordinaten P(5 | 10).

Bekanntlicherweis lässt sich eine Geradengleichung mit gegebener Steigung und einem Punkt aufstellen. Die allgemeine Gleichung lautet:

y\ =\ k{\cdot}x+d

k ... Steigung

d ... Verschiebung entlang der y-Achse

Wir kennen sowohl die Steigung k als auch die Koordinaten eines Punktes. Durch Einsetzen erhält man dadurch:

\begin{align} & y\ =\ 25x+d \\ & 10\ =\ 25{\cdot}5+d \\ \end{align}

Durch Umformen erhält man:

\begin{align} & 10\ =\ 125+d \\ & d\ = -115 \\ \end{align}

Die endgültige Tangentengleichung für den Funktionswert an der Stelle 5 lautet:

y\ =\ 25x-115
Kommentar #7364 von sopsie 18.12.12 16:08
sopsie

das half mir nicht weiter

Kommentar #7380 von Artur 13.01.13 22:37
Artur

Danke sehr! Hat geholfen :)

Kommentar #7822 von Fabio 26.06.13 20:50
Fabio

Fabio versteht das nicht

Kommentar #8148 von Philipp 04.11.13 18:20
Philipp

Vielen Dank, das hier hat es wunderbar erklärt.

Kommentar #8282 von Marleen 10.12.13 19:07
Marleen

Lieben Dank, Ausführungen super nachvollziehbar und verständlich!

Kommentar #8334 von Nosa 07.01.14 05:52
Nosa

Ich finde es klar

Kommentar #8654 von Neerdelerd 22.03.14 11:37
Neerdelerd

Dankeschön war echt hilfreich;)

Kommentar #8946 von Pepe 22.05.14 06:33
Pepe

und wie berechne ich jetzt
I: 144 = 995 * k +d
II: 189 = 815 *k +d
Lösung: k = -0,25;
d = 392,75

Kommentar #8970 von Hazal 26.05.14 20:06
Hazal

Vielen lieben Dank! Hat mir super beim Nachvollziehen geholfen! Hatte mir ein paar Videos angeschaut, die mich leider nicht weitergebracht haben. Aber jetzt verstehe ich es endlich. Merci. :)

Kommentar #9028 von Behemoth 13.06.14 07:04
Behemoth

Super! Danke sehr :)

Kommentar #9068 von David 27.06.14 19:37
David

oder alternativ:
tau(x) = f(a)+(x-a)*f'(a)
also in diesem Fall:
tau(x) = 10+(x-5)*25 = 25x-115

Kommentar #9444 von Sammantha Sarabia 16.11.14 22:55
Sammantha Sarabia

Sehr deutlich geklärt!! Meine bedankung an euch!!! Vielen dank !

Kommentar #9988 von Gunther 22.04.15 12:13
Gunther

Meiner Meinung nach ist dieser Beitrag außerordentlich gelungen, er hat mir sehr viel Spaß bereitet und ich freue mich sehr, dass ich diese wunderbare Seite entdecken durfte!:-)

Kommentar #10076 von tim 12.05.15 17:14
tim

Ja war ganz hilfreich. Man hätte noch näher drauf eingehen können- sonst war es aber gut

Kommentar #10112 von Johannes Ger 20.05.15 19:03
Johannes Ger

gute erklaerung ,ich frag mich nur wie ihr die Steigung 25 raus bekommen konntet,habe die x-methode angewannt und f`(x)=1/5x^2 +x rausbekommen,wenn man da fuer x die 5 eingibt kommt auch 10 bei y raus ,wie bilde ich jetzt k?

Kommentar #13966 von Lars 20.03.16 20:05
Lars

Ich berechne es immer so:


1.Schritt: Y-Wert des Punktes berechnen P(5/Y)

f(5)=5^3-5*5^2+10
=125-125+10
=10

P(5/10)

2. Schritt: Jetzt berechnet man die Steigung von P, dazu muss man die x-Koordinate nur in die erste Ableitung einsetzen:

f`(5)=3*5^2-10*5
=75-50
=25

Nun kann man mit der Punktsteigungsform die Tangente berechnen:

Punktsteigungsform:
y = m * ( x - X ) + Y

m ist die Steigung, in diesem Fall 25

X die X-Koordinate von P

Y die Y-Koordinate von P

so ergibt sich:

y = 25 * ( x - 5 ) + 10
= 25x - 125 + 10
= 25x - 115

(Aufpassen: P(X/Y) sind IMMER das Zweite X in der Klammer und das Y nach den Klammer in der Punktsteigungsform [und nicht das erste x vor dem Minus und das y vor dem Gleichzeichen])

Kommentar #14128 von Katja 03.04.16 15:08
Katja

War sehr nachvollziehbar aber trotzdem bin ich bei meiner Gleichung nicht auf das Ergebnis gekommen, welches mein Taschenrechner von mir hören wollte. Bei y=2x^3-4x+1 an x=1 sollte y=2x-3 als tangentengleichung rauskommen und nicht y=2x+7 :D

Kommentar #27266 von vici 09.11.16 20:36
vici

wir haben so Aufgaben wie:
Bestimme die Gleichung der Tangente t durch den Punkt P.

und gegeben ist:
f(x)=-x^2+3; P(4|f(4))


wie rechnet man das? mich verwirrt, was ich mit diesem Punkt P(4|f(4)) anstellen soll?

Kommentar #35558 von mat 27.01.17 19:02
mat

Ja und jetzt bestimm mal die Steigung von y = (1-3x)*e^(2x) bei x=1

Steiler oder flacher als 45°

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