Tangentengleichung berechnen

Hier wird gezeigt, wie die Geradengleichung einer Tangente aufgestellt wird. azubiworld

Aufstellen der Tangentengleichung

Tangente, Tangentengleichung Tangente an der Stelle 5

Gegeben Sei die Funktion f:

f(x)=x^3-5x^2+10

Die erste Ableitung lautet:

f'(x)=3x^2-10x

Gesucht ist

  1. die Steigung an der Stelle 5 und
  2. die Gleichung jener Tangente, die die Kurve an der Stelle x=5 berührt.

Ermitteln der Steigung

Um die Steigung k an der Stelle x=5 zu ermitteln wird der Wert in die erste Ableitung eingesetzt:

k\ =\ f'(5)=3 \cdot 5^2-10 \cdot 5\ =\ 75 - 50\ =\ 25

Weiters ist ein Punkt der Tangente erforderlich. Dies ist klarerweise der Berührpunkt P an der Stelle f(5):

f(5)\ =\ 5^3-5 \cdot 5^2 + 10\ =\ 125 - 125 + 10 = 10

Der Berührpunkt P hat daher die Koordinaten P(5 | 10).

Bekanntlicherweis lässt sich eine Geradengleichung mit gegebener Steigung und einem Punkt aufstellen. Die allgemeine Gleichung lautet:

y\ =\ k{\cdot}x+d

k ... Steigung

d ... Verschiebung entlang der y-Achse

Wir kennen sowohl die Steigung k als auch die Koordinaten eines Punktes. Durch Einsetzen erhält man dadurch:

\begin{align} & y\ =\ 25x+d \\ & 10\ =\ 25{\cdot}5+d \\ \end{align}

Durch Umformen erhält man:

\begin{align} & 10\ =\ 125+d \\ & d\ = -115 \\ \end{align}

Die endgültige Tangentengleichung für den Funktionswert an der Stelle 5 lautet:

y\ =\ 25x-115
Kommentar #7364 von sopsie 18.12.12 16:08
sopsie

das half mir nicht weiter

Kommentar #7380 von Artur 13.01.13 22:37
Artur

Danke sehr! Hat geholfen :)

Kommentar #7822 von Fabio 26.06.13 20:50
Fabio

Fabio versteht das nicht

Kommentar #8148 von Philipp 04.11.13 18:20
Philipp

Vielen Dank, das hier hat es wunderbar erklärt.

Kommentar #8282 von Marleen 10.12.13 19:07
Marleen

Lieben Dank, Ausführungen super nachvollziehbar und verständlich!

Kommentar #8334 von Nosa 07.01.14 05:52
Nosa

Ich finde es klar

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