Tangentengleichung berechnen

Hier wird gezeigt, wie die Geradengleichung einer Tangente aufgestellt wird.

Aufstellen der Tangentengleichung

Tangente an der Stelle 5

Gegeben Sei die Funktion f:

f(x)=x^3-5x^2+10

Die erste Ableitung lautet:

f'(x)=3x^2-10x

Gesucht ist

Um die Steigung k an der Stelle x=5 zu ermitteln wird der Wert in die erste Ableitung eingesetzt:

$k\ =\ f'(5)=3 \cdot 5^2-10 \cdot 5\ =\ 75 - 50\ =\ 25$

Weiters ist ein Punkt der Tangente erforderlich. Dies ist klarerweise der Berührpunkt P an der Stelle f(5):

$f(5)\ =\ 5^3-5 \cdot 5^2 + 10\ =\ 125 - 125 + 10 = 10$

Der Berührpunkt P hat daher die Koordinaten P(5 | 10).

Bekanntlicherweis lässt sich eine Geradengleichung mit gegebener Steigung und einem Punkt aufstellen. Die allgemeine Gleichung lautet:

$y\ =\ k{\cdot}x+d$

k ... Steigung

d ... Verschiebung entlang der y-Achse

Wir kennen sowohl die Steigung k als auch die Koordinaten eines Punktes. Durch Einsetzen erhält man dadurch:

$\begin{align} & y\ =\ 25x+d \\ & 10\ =\ 25{\cdot}5+d \\ \end{align}$

Durch Umformen erhält man:

$\begin{align} & 10\ =\ 125+d \\ & d\ = -115 \\ \end{align}$

Die endgültige Tangentengleichung für den Funktionswert an der Stelle 5 lautet:

$y\ =\ 25x-115$