Regelmäßiges Sechseck: Flächeninhalt

Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des regelmäßigen Sechsecks.

Flächenberechnung beim regelmäßigen Sechseck

Um die Flächeninhaltsformel für das regelmäßige Sechseck herzuleiten zeichnen wir die 3 Diagonalen (AD, BE und CF) ein.

Die Diagonalen teilen die Figur in sechs gleich große gleichseitige Dreiecke.

Um den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, berechnet man zuerst den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. Da alle sechs gleichseitige Dreiecke gleich groß sind, multipliziert man das Ergebnis anschließend mit 6, um auf den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu kommen.

Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

Aus einem vorhergehenden Kapitel wissen wir bereits die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck.

In einem regelmäßigen Sechseck sind die Seitenlängen der sechs gleichseitigen Dreiecke der Radius r bzw. die Seitenlänge a des Sechsecks.

Gleichseitiges Dreieck:

A = \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

Nachdem es sich um 6 gleichseitige Dreiecke handelt, berechnen wir den Flächeninhalt von 1 gleichseitigen Dreieck und multiplizieren ihn mit 6!

\begin{align} & A_{Sechseck} = 6 \cdot A_{Dreieck} \\ & A_{Sechseck} = 6 \cdot \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {6 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3} \\ \end{align}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

A = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3}