Regelmäßiges Sechseck: Flächeninhalt

Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des regelmäßigen Sechsecks. azubiworld

Flächenberechnung beim regelmäßigen Sechseck

Um die Flächeninhaltsformel für das regelmäßige Sechseck herzuleiten zeichnen wir die 3 Diagonalen (AD, BE und CF) ein.

Die Diagonalen teilen die Figur in sechs gleich große gleichseitige Dreiecke.

Um den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, berechnet man zuerst den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. Da alle sechs gleichseitige Dreiecke gleich groß sind, multipliziert man das Ergebnis anschließend mit 6, um auf den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu kommen.


Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

Aus einem vorhergehenden Kapitel wissen wir bereits die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck.

In einem regelmäßigen Sechseck sind die Seitenlängen der sechs gleichseitigen Dreiecke der Radius r bzw. die Seitenlänge a des Sechsecks.

Gleichseitiges Dreieck:

A = \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

Nachdem es sich um 6 gleichseitige Dreiecke handelt, berechnen wir den Flächeninhalt von 1 gleichseitigen Dreieck und multiplizieren ihn mit 6!

\begin{align} & A_{Sechseck} = 6 \cdot A_{Dreieck} \\ & A_{Sechseck} = 6 \cdot \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {6 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3} \\ \end{align}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

A = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3}
Kommentar #9846 von Clemens 03.04.15 14:32
Clemens

Warum zieht man die Wurzel aus 3 und rechnet durch 4?

Kommentar #10198 von Luchsen 22.06.15 20:05
Luchsen

"Aus einem vorhergehenden Kapitel wissen wir bereits die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck."

Siehe dort.

Kommentar #29440 von Schnabel 06.12.16 14:41
Schnabel

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A*=h*a/2 mit der Höhe h = sin 60° (siehe gleichseitiges Dreieck) * a. Der Sinus von 60° ist (wurzel (3))/2. Die Wurzel kommt aus dem Sinus und die 4 von der Wurzel mal halbe Seitenlänge

Kommentar #33228 von Carste Stahl 13.01.17 14:05
Carste Stahl

Was ist denn bitte a ?
Wir machen gerade in Mathematik Projekt und brauchen es schnell.

Kommentar verfassen