Assoziativgesetz

Wird eine mathematische Operation mehrmals verkettet, so kann diese Operation - sofern das Assoziativgesetz gilt - in jeder beliebigen Reihenfolge durchgeführt werden. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen:

Beispiel

$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

$B=\{2,4,6,8,10,12,14\}$

$C=\{4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

Es soll nun folgende Menge gebildet werden:

$A{\cap}B{\cap}C$

Dies kann auf zwei Varianten erreicht werden:

Variante I:

$(A{\cap}B){\cap}C$
Das bedeutet, dass zuerst die Schnittmenge von A und B ermittelt wird. Anschließend wird die Schnittmenge von diesem Ergebnis mit der Menge C gebildet.

Variante II:

$A{\cap}(B{\cap}C)$

In dieser Variante wird zuerst die Schnittmenge von B und C ermittelt. Anschließend wird die Schnittmenge von diesem Ergebnis mit der Menge A gebildet.

Lösung der Variante I:

$(A{\cap}B)=\{2,4,6\}$

$(A{\cap}B){\cap}C=\{4,6\}$

Lösung der Variante II:

$(B{\cap}C)=\{4,6,8,10,12\}$

$A{\cap}(B{\cap}C)=\{4,6\}$

Man erkennt an diesen beiden Beispielen, dass bei der Schnittmengen-Operation das Assoziativgesetz gelten dürfte. Dies ist natürlich kein vollständiger Beweis, soll aber auch nur das Prinzip des Assoziativgesetzes nahe bringen.

Assoziativgesetz - Definition

Es gilt das Assoziativgesetz, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

$(A{\circ}B){\circ}C=A{\circ}(B{\circ}C)$

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