Regelmäßiges Sechseck: Flächeninhalt

Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des regelmäßigen Sechsecks. azubiworld

Flächenberechnung beim regelmäßigen Sechseck

Um die Flächeninhaltsformel für das regelmäßige Sechseck herzuleiten zeichnen wir die 3 Diagonalen (AD, BE und CF) ein.

Die Diagonalen teilen die Figur in sechs gleich große gleichseitige Dreiecke.

Um den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, berechnet man zuerst den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. Da alle sechs gleichseitige Dreiecke gleich groß sind, multipliziert man das Ergebnis anschließend mit 6, um auf den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks zu kommen.


Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

Aus einem vorhergehenden Kapitel wissen wir bereits die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck.

In einem regelmäßigen Sechseck sind die Seitenlängen der sechs gleichseitigen Dreiecke der Radius r bzw. die Seitenlänge a des Sechsecks.

Gleichseitiges Dreieck:

A = \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

Nachdem es sich um 6 gleichseitige Dreiecke handelt, berechnen wir den Flächeninhalt von 1 gleichseitigen Dreieck und multiplizieren ihn mit 6!

\begin{align} & A_{Sechseck} = 6 \cdot A_{Dreieck} \\ & A_{Sechseck} = 6 \cdot \frac {a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {6 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{2} \\ & A_{Sechseck} = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3} \\ \end{align}

Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks:

A = \frac {3}{2} \cdot a^2 \sqrt{3}
Kommentar #9846 von Clemens 03.04.15 14:32
Clemens

Warum zieht man die Wurzel aus 3 und rechnet durch 4?

Kommentar #10198 von Luchsen 22.06.15 20:05
Luchsen

"Aus einem vorhergehenden Kapitel wissen wir bereits die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck."

Siehe dort.

Kommentar #29440 von Schnabel 06.12.16 14:41
Schnabel

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist A*=h*a/2 mit der Höhe h = sin 60° (siehe gleichseitiges Dreieck) * a. Der Sinus von 60° ist (wurzel (3))/2. Die Wurzel kommt aus dem Sinus und die 4 von der Wurzel mal halbe Seitenlänge

Kommentar #33228 von Carste Stahl 13.01.17 14:05
Carste Stahl

Was ist denn bitte a ?
Wir machen gerade in Mathematik Projekt und brauchen es schnell.

Kommentar #39162 von Helmut 29.03.17 17:24
Helmut

Es geht auch wesentlich einfacher. Um das Sechseck kann man ein Quadrat legen, dem 4 Dreiecke an den Ecken abgezogen werden müssen, welche wiederum zu 2 Rechtecken zusammengezogen werden können.

Kommentar #41954 von Sancho 03.12.18 21:57
Sancho

Wenn man SW (Schlüsselweite)
als Bezug nimt, dann lautet
die Formel:
a • SW + 0,5 • a • sw, BZW.
A = aSW + o,5aSW
wobei a = SW • tan30

Kommentar #41974 von Sancho 05.12.18 21:48
Sancho

Einfachste Formel für die Berechnung der Fläche eines
Sechsecks lautet:

A = 1,5 • a • b

wobei b = Mass des Sechskantes

Kommentar #42150 von Mario 21.01.19 10:59
Mario

Ich habe eine Frage an Sancho was ist denn b bzw kannst du mir das an einem bsp erklären wie ich auf b komme wäre sehr hilfreich wenn diese Formel stimmt

Kommentar #42438 von meru 19.03.19 17:28
meru

ich check's nicht.

Kommentar #43260 von Chiara 04.12.19 13:47
Chiara

Wie kann ich die Fläche von einem regelmäßigen sechseck berechnen wenn ich nur h gegeben habe?

Kommentar #43342 von Drömmler 17.12.19 18:16
Drömmler

Man muss doch doch die Dreiecke Innen zusammen Zählen, oder?

Kommentar #43636 von Chiara 09.03.20 19:59
Chiara

Checke nicht Hhahaha ich schreibe einfach ab

Kommentar #44378 von Grandswiss 28.08.20 08:20
Grandswiss

Ein Sechseck kann man in drei Teile teilen:

__ __
/ \ = /| + | | + |\
\__/ \| |__| |/

Ein Rechteck in der Mitte und je ein Dreieck links und rechts.
Die Fläche des Rechtecks in der Mitte sei a*b (a ist die Seitenlänge des Sechsecks und b die Höhe des Sechsecks)

Die zwei Dreiecke links und rechts kann man so zusammensetzen, dass ein Rechteck entsteht:
_
/| + |\ = | |
\| |/ |_|

Dieses Rechteck ist halb so gross wie das Rechteck in der Mitte = 0.5 * a*b.

Also alles zusammen a*b + 0.5 * a*b = 1.5 * a*b

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