Differenzenquotient

Der Differenzenquotient entspricht dem Quotienten aus Gegenkathete (y2-y1) und Ankathete (x2-x1)

Herleitung des Differenzenquotienten

Um nun den Differenzenquotient des gegebenen Steigungsdreiecks zu ermitteln, bildet man den Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete:

$\mbox{Differenzenquotient}\ =\ \frac{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}}$

Sekante mit Steigungsdreieck

Die Ankathete kann in diesem Fall ermittelt werden, indem die Differenz der x-Werte von A und B gebildet wird:

Δx = x_B - x_A

Die Gegenkathete wird auf die gleiche Weise ermittelt, indem die Differenz der y-Werte von A und B gebildet wird:

Δy = y_B - y_A

Da die y-Werte die Funktionswerte f(x) der Funktion f sind, schreibt man auch:

Δy = f(x_B) - f(x_A)

Durch Einsetzen in die erste Gleichung erhält man den Differenzenquotient:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\ =\ \frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$

Der Winkel der Sekante entspricht dem Tangens des Differenzenquotients:

$\tan\alpha\ =\ \frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$

Durch Äquivalenzumformung dieser Gleichung kann der Winkel ermittelt werden:

$\alpha\ =\ \tan^{-1}\left(\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\right)$