Die Zahl Pi

Die Zahl Pi ist eine irrationale Zahl (eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Dezimalstellen). azubiworld

Die Zahl Pi

Aus dem vorherigen Kapitel wissen wir bereits, dass man immer denselben Wert erhält, wenn man den Umfang durch den Durchmesser eines Kreises dividiert. Dieser Wert liegt in etwa bei 3,14 und wird als Kreiszahl \pi bezeichnet.

Die Zahl \pi [sprich: pi] ist eine irrationale Zahl (eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Dezimalstellen).

\pi = 3,141592653...

Geschichtliches über die Zahl Pi

Es gibt wohl kaum eine Zahl, die die Menschheit mehr beschäftigt hat, als die Kreiszahl Pi.

Archimedes gelang es bereits um 250 v. Chr. mit Hilfe des ein- und umgeschriebenen 96-Ecks die Zahl Pi abzuschätzen.

Erst 1766 konnte Johann Heinrich Lambert beweisen, dass Pi eine irrationale Zahl ist.

Heute ist die Zahl Pi von Supercomputern auf mehrere Billionen Dezimalstellen genau definiert.

Näherungsweise Herleitung der Zahl Pi

Wir konstruieren einen Kreis mit dem Radius r = 5 cm. Diesem wird z.B. ein regelmäßiges 6-Eck umgeschrieben und engeschrieben.

Verbindet man alle Eckpunkte mit dem Mittelpunkt M, so entstehen in jedem 6-Eck jeweils 6 gleichseitige Dreiecke.

Je mehr Ecken das regelmäßige n-Eck besitzt, umso mehr nähern wir uns der Kreiszahl Pi
Umfang des eingeschriebenen 6-Ecks:

u = 6 \cdot r


Umfang des umgeschriebenen 6-Ecks:

u_1 = 6 \cdot r_1

Weiters benötigen wir die Formel zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck:

h = \frac {a}{2} \cdot \sqrt {3}

Aus der Skizze erkennen wir, dass die Höhe des umgeschriebenen 6-Ecks gleichzeitig der Radius des eingeschriebenen 6-Ecks ist, daher:

r = \frac {a}{2} \cdot \sqrt {3}

Außerdem haben wir die Seite a vorher als r_1 bezeichnet:

r = \frac {r_1}{2} \cdot \sqrt {3}

Wir formen so um, dass wir uns r_1 ausdrücken:

\begin{align} & r = \frac {r_1}{2} \cdot \sqrt {3}\qquad / : \syrt \sqrt {3} \\ & \frac {r}{\sqrt {3}} = \frac {r_1}{2}\qquad / \cdot 2 \\ & \frac {r \cdot 2}{\sqrt {3}} = r_1 \\ \end{align}

Dies setzen wir nun in die Formel u = 6 \cdot r_1 ein:

u = 6 \cdot \frac {r \cdot 2}{\sqrt {3}}

Zusammenfassung:

Die Kreiszahl Pi muss nun also zwischen dem Umfang des eingeschriebenen und des ungeschriebenen 6-Ecks liegen:

\begin{align} & u < \pi < u_1  \\ & 6 \cdot r < \pi < \frac {12 \cdot r}{\sqrt {3}} \\ \end{align}

Wir wissen, dass der doppelte Radius den Durchmesser ergibt (2r = d):

\begin{align} & 3 \cdot d < \pi < \frac {6 \cdot d}{\sqrt {3}}\qquad / : d \\ & 3 < \pi < \frac {6}{\sqrt {3}} \\ & 3 < \pi < 3,464... \\ \end{align}

Die Zahl Pi muss also zwischen 3 und 3,464... liegen.
Kommentar #603 von Herzberger 24.07.12 08:15
Herzberger

Mein Kommentar war kein spam.
Ich habe nur auf einen Fehler hingewiesen.
Es wird in der Nachfolgezeile von
"Wir formen um...
statt durch Quadratwurzel durch 3 geteilt."

Kommentar #1656 von Erich Hnilica 07.11.12 16:22
Erich Hnilica

Vielen Dank für die Info!
Der Fehler wurde bereits behoben.

PS: Unser System ist so eingestellt, dass alle neuen Beiträge von uns persönlich auf Spam überpürft werden. Deshalb kann es einige Zeit dauern, bis ein von dir verfasster Beitrag veröffentlicht wird - also auch wenn es sich um keinen Spam handelt!

Kommentar #8464 von Noah 28.01.14 10:45
Noah

Also eine Anleitung für GeoGebra wäre auch toll gewesen.

Kommentar #8510 von Müller 05.02.14 19:52
Müller

Wieso muss man zur Bestimmung von h bzw r, (a:2) mit Wurzel 3 multiplizieren? Wieso das Wurzel 3 heisst verstehe ich nicht...

Kommentar #8966 von Phil 26.05.14 08:12
Phil

Und warum setzt man jetzt die Formel u1=6*r1 ein ?

Kommentar verfassen