Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen

Für die natürlichen Zahlen gibt es eine ältere und eine neuere Definition. Da man bis in das 13. Jahrhundert nicht mit der Zahl 0 gerechnet hat galt:

Alte Variante:

Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle positiven, ganzzahligen Zahlen.

N={1,2,3,4,5,6,7, ...}

Man erweiterte die Menge später durch die Zahl 0 und gab diese erweiterte Menge folgendermaßen an:

N₀={0,1,2,3,4,5,6,...}

Neue Variante:

Nach der neueren Definition ist die Zahl 0 von Haus aus inkludiert. Man sagt:

Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle nicht negativen ganzen Zahlen (Somit ist auch die Zahl 0 inkludiert).

N₀={0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Falls die Menge ohne der Zahl 0 gewünscht ist, schreibt man:

N^*={1,2,3,4,5,6,7,...}

Besondere Teilmengen der natürlichen Zahlen

Weiters gibt es einige besonders erwähnenswerte Teilmengen:

Die Menge der natürlichen geraden Zahlen:

N_G={0,2,4,6,8,10,12, ...}

Die Menge der natürlichen ungeraden Zahlen:

N_U={1,3,5,7,9,11,13, ...}

Die Menge der Primzahlen (alle Zahlen größer 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind):

P={2,3,5,7,11,13,17,19,23, ...}

Natürliche Zahlen - Abgeschlossene Operationen

Bei den natürlichen Zahlen sind die Addition und die Multiplikation abgeschlossene Operationen (Die nachfolgenden Beispiele sollen dies veranschaulichen, sind aber keine vollständigen Beweise! Auf diese wurde aus Gründen der Verständlichkeit verzichtet)

Addition:
Die Summe zweier natürlicher Zahlen ergibt immer eine natürliche Zahl

Multiplikation:
Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ergibt immer eine natürliche Zahl

Nicht abgeschlossene Operationen

Subtraktion:
Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muss nicht immer eine natürliche Zahl ergeben

Division:
Der Quotient zweier natürlicher Zahlen muss nicht immer eine natürliche Zahl ergeben