Das Volumen der Kugel

In diesem Kapitel leiten wir die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel her. azubiworld

Das Volumen der Kugel

Unter dem Volumen (oder auch Rauminhalt) eines Körpers versteht man den räumlichen Inhalt dieses Körpers.

Umgangssprachlich würde man sagen: all jenes, das in diese Kugel hineinpasst (Flüssigkeit, ...)

Das Volumen wird mit V abgekürzt und entspricht in der ebenen Geometrie dem Flächeninhalt.

Herleitung der Formel:

Für die Herleitung der Volumsformel einer Kugel arbeiten wir mit Umfüllen.

Dazu teilen wir eine Kugel in 2 gleich große Halbkugeln.

Nun vergleichen wir das Volumen einer Halbkugel mit dem Volumen eines Kegels. Dazu müssen folgende Eigenschaften gegeben sein:

Halbkugel und Kegel haben denselben Radius und dieselbe Höhe.

Nun füllen wir den Kegel mit Flüssigkeit und schütten diese in die Halbkugel. Wir können erkennen, dass dies genau 2 Mal möglich ist.

Es gilt: Das Volumen eines Kegels passt genau 2 Mal in eine Halbkugel mit gleichem Radius und gleicher Höhe!

Möchte man nun beide Halbkugeln (die ganze Kugel) befüllen, so muss man mit dem Kegel insgesamt 4 Mal umschütten.

In einem anderen Kapitel haben wir bereits die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels hergeleitet:

Das Volumen (der Rauminhalt) des Kegels:

V_{Kegel} = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}

Das Volumen der Kugel ist 4 Mal so groß wie das Volumen des Kegels, Radius u. Höhe sind gleich: r = h

V_{Kegel} = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}

V_{Kugel} = \frac{4 \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}

V_{Kugel} = \frac{4 \cdot r^2 \cdot \pi \cdot r}{3}

V_{Kugel} = \frac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3}

Das Volumen (der Rauminhalt) der Kugel.

V = \frac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3}

Beispiel:

geg.: Kugel: r = 5 cm

ges.: V

V = \frac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3}

V = \frac{4 \cdot 5^3 \cdot \pi}{3}

V = \frac{4 \cdot 125 \cdot \pi}{3}

V = \frac{500 \cdot \pi}{3}

V = \frac{1570,8}{3}

\underline{V = 523,6\ cm^3}

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