Die Höhe berechnen

Die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes berechnen. azubiworld

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes berechnen

Beispiel:

Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man die Länge der Seite a = 7 cm. Berechnen Sie die Länge der Höhe h!

Gleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck

Zeichnet man die Höhe ein, so teilt diese das gleichseitige Dreieck in zwei gleich große rechtwinkelige Dreiecke.

In einem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Lehrsatz des Pythagoras, daher gilt:

\left ( \frac{a}{2} \right )^2 + h^2 = a^2

Wir formen um:

a^2 = \left ( \frac{a}{2} \right )^2 + h^2 \qquad / -  \left ( \frac{a}{2} \right )^2

a^2 - \left ( \frac{a}{2} \right )^2 = h^2

h^2 = a^2 - \left ( \frac{a}{2} \right )^2 \qquad / \sqrt

h = \sqrt{a^2 - \left ( \frac{a}{2} \right )^2}

h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}

h = \sqrt{\frac{4a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}

h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}

h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2}}{\sqrt{4}}

h = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{4}}

h = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}

h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2}

\underline{h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}}

Beispiel (Forts.):

h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}

h = \frac{7}{2} \cdot \sqrt{3}

h = 3,5 \cdot \sqrt{3}

h = 3,5 \cdot 1,73

\underline{h = 6,1\ cm}

Antwort: Die Länge der Höhe h des gleichseitigen Dreiecks beträgt ca. 6,1 cm.

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks berechnen:

h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}

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