Oberfläche des Zylinders

Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. azubiworld

Die Oberfläche des Zylinders

Im Kapitel Netz eines Zylinders haben wir bereits erläutert, dass die Grundfläche und die Deckfläche eines Zylinders 2 gleich große Kreise sind und die Mantelfläche ein Rechteck ist.

Diese 3 Flächen bilden also die Oberfläche des Zylinders.

Um die Oberfläche des Zylinders zu berechnen, muss man also diese 3 Flächen (2 gleich große Kreise und Rechteck) addieren:

Oberfläche = Grundfläche + Deckfläche + Mantelfläche

Da Grund- und Deckfläche gleich groß sind, gilt: Grundfläche = Deckfläche

Oberfläche = 2 mal Grundfläche + Mantelfläche

Als Formel geschrieben:

O = 2G + M


Oberfläche eines Zylinders

O = 2G + M

Herleitung der Formel

1) Grundfläche und Deckfläche:

Die Grund- und Deckfläche eines Zylinders sind zwei gleich große Kreise.

Die Flächeninhaltsformel eines Kreises kennen wir bereits aus dem Kapitel Kreisfläche :

A_\text{Kreis} = r^2 \cdot \pi

Da die Oberfläche eines Zylinders aus 2 Kreisen besteht, gilt:
A_\text{Kreise} = 2 \cdot r^2 \cdot \pi

2) Mantelfläche:

Die Mantelfläche eines Zylinders ist ein Rechteck.

Die Länge dieses Rechtecks entspricht dem Umfang des Kreises der Grund- bzw. Deckfläche.

Umfangsformel des Kreises:u = 2 \cdot r \cdot \pi

Da die Länge des Umfangs der Länge des Rechtecks entspricht, gilt:
l = 2 \cdot r \cdot \pi

Die Breite dieses Rechtecks entspricht der Höhe des Zylinders. Somit gilt:
b = h

Flächeninhaltsformel des Rechtecks:
A_\text{Rechteck} = l \cdot b

Nun setzen wir für l = 2 \cdot r \cdot \pi und für b = h in diese Formel ein:

A_\text{Rechteck} = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h

3) Zusammenfassung:

Oberfläche = Grundfläche + Deckfläche + Mantelfläche

Oberfläche = 2 mal Grundfläche + Mantelfläche

O = 2G + M
O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h

Durch Herausheben von 2 \cdot r \cdot \pi kann die Formel noch vereinfacht werden:
O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot (r + h)

Oberfläche des Zylinders:

Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen:

O = 2 \cdot G + M
O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h
O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot (r +h)

Beispiel:

Ein Zylinder hat einen Radius von r = 4cm und eine Höhe von h = 10 cm. Berechne die Oberfläche!

1. Möglichkeit:

O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h

O = 2 \cdot 4^2 \cdot \pi + 2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot 10

O = 32 \cdot \pi + 80 \cdot \pi

O = 112 \cdot \pi

\underline{O = 351,9\ cm^2}

2. Möglichkeit:

O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot (r + h)

O = 2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot (4 + 10)

O = 8 \cdot \pi \cdot 14

O = 112 \cdot \pi

\underline{O = 351,9\ cm^2}

Kommentar #43626 von Alex 07.03.20 10:31
Alex

NICHT HILFREICH ZUM LERNEN UND AUCH ZUM VERSTEHEN

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