Umkehraufgabe zum Volumen des Kegels: Berechnung der Höhe h

Hier finden Sie eine Formel, wie Sie die Höhe h eines Kegels berechnen können, wenn Sie das Volumen und seinen Radius kennen. azubiworld

Berechnung der Höhe des Kegels, wenn das Volumen und der Radius bekannt sind

Beispiel

Ein Kegel hat ein Volumen von 117,3 cm³ und einen Radius von 4 cm.

Berechnen Sie die Höhe des Kegels!


Herleitung der Formel

Aus dem Kapitel Volumen des Kegels wissen wir bereits, dass sich das Volumen des Kegels aus dem Drittel des Produktes von Grundfläche (=Kreis) mal Höhe errechnet. Daraus ergibt sich folgende Formel:

Wiederholung: Das Volumen (der Rauminhalt) des Kegels:

V = \frac{G \cdot h}{3}

V = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}

Nachdem wir allerdings das Volumen und den Radius des Kegels kennen, nicht aber die Höhe, müssen wir die Formel so umformen, dass h (die Höhe) alleine auf einer Seite steht:

V = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}\qquad / \cdot 3

3 \cdot V = r^2 \cdot \pi \cdot h\qquad / : (r^2 \cdot \pi)

\frac{3 \cdot V}{r^2 \cdot \pi} = h


Beispiel (Fortsetzung)

h = \frac{3 \cdot V}{r^2 \cdot \pi}

h = \frac{3 \cdot 117,3}{4^2 \cdot \pi}

h = \frac{3 \cdot 117,3}{16 \cdot \pi}

h = \frac{351,9}{50,3}

\underline{h = 7\ cm}

Probe:

V = \frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}

V = \frac{4^2 \cdot \pi \cdot 7}{3}

V = \frac{16 \cdot \pi \cdot 7}{3}

V = \frac{112 \cdot \pi}{3}

V = \frac{351,9}{3}

V = 117,3\ cm^3

Antwort:

Der Kegel hat eine Höhe von 7 cm.

Berechnung der Höhe eines Kegels, wenn Volumen und Radius bekannt sind:

h = \frac{3 \cdot V}{r^2 \cdot \pi}

Höhe = [3 mal Volumen] : [( Radius hoch 2 ) mal Pi ]

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