Umkehraufgabe zur Oberfläche des Zylinders: Berechnung des Radius r

Hier finden Sie eine Formel, wie Sie den Radius r eines Zylinders berechnen können, wenn Sie die Oberfläche und seine Höhe kennen. azubiworld

Berechnung des Radius des Zylinders, wenn die Oberfläche und die Höhe bekannt sind

Beispiel

Ein Zylinder hat eine Oberfläche von 351,9 cm² und eine Höhe von 10 cm.


Herleitung der Formel

Aus dem Kapitel  wissen wir bereits, dass sich die Oberfläche des Zylinders aus der Summe von Grundfläche, Deckfläche (2 gleich große Kreise) und der Mantelfläche (Rechteck) errechnet.

Daraus ergibt sich folgende Formel:

Oberfläche des Zylinders:

Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus der Grundfläche, der Deckfläche und der Mantelfläche zusammen:

O = 2 \cdot G + M
O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h

Nachdem wir allerdings die Oberfläche und die Höhe des Zylinders kennen, nicht aber den Radius, müssen wir die Formel so umformen, dass r (der Radius) alleine auf einer Seite steht:

$$
O = 2 \cdot r^2  \pi + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\qquad / - O \\
\\
0 = 2 \cdot r^2  \pi + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h - O\qquad / : (2 \cdot \pi) \\
\\
0 = r^2 + r \cdot h - \frac{O}{2 \cdot \pi} \\
\\
0 = r^2 + h \cdot r + (-\frac{O}{2 \cdot \pi}) \\
\\
\text{Jetzt liegt eine quadratische Gleichung in Normalform vor.} \\
\text{Diese lässt sich mit der p-q-Formel lösen: } \\
{ x }_{ 1,2 }=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \\
mit \quad p=h \quad und \quad q=-\frac{O}{2 \cdot \pi} \\
\\
{ r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{h}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{h}{2} \right)^{2}-(-\frac{O}{2 \cdot \pi})} \\
r_1=-\frac {h}{2} + \sqrt{\frac{h^2}{4}+\frac{O}{2 \cdot \pi}} \\
r_2=-\frac {h}{2} - \sqrt{\frac{h^2}{4}+\frac{O}{2 \cdot \pi}} \\$$


Beispiel (Fortsetzung)

{ r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{h}{2}\right) \pm \sqrt{\left \frac{h^2}{4} \right + \frac{O}{2 \cdot \pi}}

{ r }_{ 1,2 }=-\left(\frac{10}{2}\right) \pm \sqrt{\left \frac{10^2}{4} \right + \frac{351,9}{2 \cdot \pi}}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{\left \frac{100}{4} \right + \frac{351,9}{6,3}}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{ 25 + 55,9}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm \sqrt{80,9}

{ r }_{ 1,2 }=-5 \pm 9

r_1 = -5 + 9 = \underline{4\ cm}
r_2 = -5 - 9 = \underline{-14\ cm}

Da der Radius keine negative Zahl sein kann, ist \underline{r_1 = 4\ cm} die Lösung dieses Beispiels.

Probe:

O = 2 \cdot r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h

O = 2 \cdot 4^2 \cdot \pi + 2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot 10

O = 32 \cdot \pi + 80 \cdot \pi

O = 112 \cdot \pi

O = 351,9\ cm^2

Antwort:

Der Zylinder hat einen Radius von 4 cm.

Berechnung des Radius eines Zylinders, wenn Oberfläche und Höhe bekannt sind:

r =-\left(\frac{h}{2}\right) + \sqrt{\left \frac{h^2}{4} \right + \frac{O}{2 \cdot \pi}}

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