Kardinalität / Mächtigkeit

M sei eine endliche Menge. Die Kardinalität (oder auch Mächtigkeit) von M ist die Anzahl der Elemente der Menge M.

Kardinalität/Mächtigkeit einer Menge

M sei eine endliche Menge. Die Kardinalität (oder auch Mächtigkeit) von M ist die Anzahl der Elemente der Menge M.

Beispiel 1:

$A=\{0,1,2,3,4,5\}$

Die Menge A hat die Kardinalität 6:

$|A|=6$

Beispiel 2:

$B=\{19\}$

Die Menge B hat die Kardinalität 1:

$|B|=1$

Beispiel 3:

$C=\{0,1,2\}$

Die Menge C hat die Kardinalität 3:

$|C|=3$

Betrachtet man die Kardinalität einer Menge und die Kardinalität der dazugehörigen Potenzmenge, erkennt man einen Zusammenhang:

Menge mit 1 Element:

$D=\{7\}$

$P(D)=\{\{\},\{7\}\}$

$|D|=1$

$|P(D)|=2$

Menge mit 2 Elemente:

$E=\{7,8\}$

$P(E)=\{\{\},\{7\},\{8\},\{7,8\}\}$

$|E|=2$

$|P(E)|=4$

Menge mit 3 Elemente:

$F=\{7,8,9\}$

$P(F)=\{\{\},\{7\},\{8\},\{9\},\{7,8\},\{7,9\},\{8,9\},\{7,8,9\}\}$

$|F|=3$

$|P(F)|=8$

Man erkennt einen Zusammenhang zwischen der Mächtigkeit der Menge und der Mächtigkeit der Potenzmenge, und zwar:

$|P(M)|=2^{|M|}$

Erklärung:

Die Menge F hat 3 Elemente, daher hat die Potenzmenge P(F) 2³=8 Elemente.