Kardinalität / Mächtigkeit

M sei eine endliche Menge. Die Kardinalität (oder auch Mächtigkeit) von M ist die Anzahl der Elemente der Menge M. azubiworld

Kardinalität/Mächtigkeit einer Menge

M sei eine endliche Menge. Die Kardinalität (oder auch Mächtigkeit) von M ist die Anzahl der Elemente der Menge M.

Beispiel 1:

A=\{0,1,2,3,4,5\}

Die Menge A hat die Kardinalität 6:

|A|=6

Beispiel 2:

B=\{19\}

Die Menge B hat die Kardinalität 1:

|B|=1

Beispiel 3:

C=\{0,1,2\}

Die Menge C hat die Kardinalität 3:

|C|=3

Kardinalität/Mächtigkeit einer Potenzmenge

Betrachtet man die Kardinalität einer Menge und die Kardinalität der dazugehörigen Potenzmenge, erkennt man einen Zusammenhang:

Menge mit 1 Element:

\begin{align}
D & =\{7\} \\
P(D) & =\{\{\},\{7\}\} \\
|D| & =1 \\
|P(D)| & = 2 \\
\end{align}

Menge mit 2 Elemente:

\begin{align}
E & =\{7,8\} \\
P(E) & =\{\{\},\{7\},\{8\},\{7,8\}\} \\
|E| & =2 \\
|P(E)| & = 4 \\
\end{align}

Menge mit 3 Elemente:

\begin{align}
F & =\{7,8,9\} \\
P(F) & = \{\{\},\{7\},\{8\},\{9\},\{7,8\},\{7,9\},\{8,9\},\{7,8,9\}\} \\
|F| & = 3 \\
|P(F)| & = 8 \\
\end{align}

Man erkennt einen Zusammenhang zwischen der Mächtigkeit der Menge und der Mächtigkeit der Potenzmenge, und zwar:

|P(M)|=2^{|M|}

Erklärung:

Die Menge F hat 3 Elemente, daher hat die Potenzmenge P(F) 23=8 Elemente.

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